\subsection{数列极限}

	\begin{ti}
		求 $\lim_{n \to \infty} n^{3} \left( \sin\frac{1}{n} - \frac{1}{2} \sin\frac{2}{n} \right)$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求 $\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n + 3\sqrt{n}} - \sqrt{n - \sqrt{n}} \right)$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求 $\lim_{n \to \infty} \left[ \sqrt{n}\left( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \right) + \frac{1}{2} \right]^{\frac{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求 $\lim_{n \to \infty} n^{2} \left( a^{\frac{1}{n}} - a^{\frac{1}{n+1}} \right)$，其中 $a > 0$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求 $\lim_{n \to \infty} \left( 1 + 2^{n} + 3^{n} \right)^{\frac{1}{n}}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求 $\lim_{n \to \infty} \cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cdots \cos\frac{x}{2^{n}}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求 $\lim_{n \to \infty} n^{2}\left( \arctan\frac{a}{n} - \arctan \frac{a}{n+1} \right)$，$a > 0$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设
		\[
			\lim_{n \to \infty} \frac{n^{99}}{n^{k} - (n-1)^{k}}
		\]
		存在且不为零，则常数 $k =$\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设数列 $\{ a_{n} \}$ 满足 $\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1$，则\kuo.

		\twoch{$\{ a_{n} \}$ 有界}{$\{ a_{n} \}$ 不存在极限}{$\{ a_{n} \}$ 自某项起同号}{$\{ a_{n} \}$ 自某项起单调}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设数列 $\{ x_{n} \}$ 满足 $x_{n} > 0$，且 $\lim_{n \to \infty}\frac{x_{n+1}}{x_{n}} = \frac{1}{2}$，则
		
		\noindent\kuo.

		\onech{$\lim_{n\to\infty}x_{n} = 0$}{$\lim_{n\to\infty}x_{n}$ 存在，但不为零}{$\lim_{n\to\infty}x_{n}$ 不存在}{$\lim_{n\to\infty}x_{n}$ 可能存在，也可能不存在}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		已知数列 $\{ a_{n} \}$ 单调，下列结论正确的是\kuo.
		
		\twoch{$\lim_{n \to \infty}\left( \ee^{a_{n}} - 1 \right)$ 存在}{$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 + a_{n}^{2}}$ 存在}{$\lim_{n \to \infty} \sin a_{n}$ 存在}{$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{1 - a_{n}^{2}}$ 存在}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $a_{1} = 1$，$a_{2} = 2$，$a_{n+2} = \frac{2a_{n}a_{n+1}}{a_{n} + a_{n+1}} (n=1,2,\cdots)$.
		\begin{enumerate}
			\item 求 $b_{n} = \frac{1}{a_{n+1}} - \frac{1}{a_{n}}$ 的表达式;
			\item 求 $\sum_{k=1}^{n} b_{k}$ 和 $\lim_{n \to \infty} a_{n}$.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $a_{1} = 3$，$a_{n+1} = a_{n}^{2} + a_{n}(n = 1,2,\cdots)$，求极限
		\[
			\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{1 + a_{1}} + \frac{1}{1 + a_{2}} + \cdots + \frac{1}{1 + a_{n}} \right).
		\]
	\end{ti}
	
	\begin{ti}
		已知 $x_{1} = \frac{1}{2}$，$2 x_{n+1} + x_{n}^{2} = 1$，求 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $x_{1} = 1$，$x_{n} = 1 + \frac{1}{1 + x_{n-1}}(n = 2,3,\cdots)$. 证明 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在，并求该极限.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $x_{1} = 1$，$x_{n+1} = \frac{x_{n} + 3}{x_{n} + 1}$，求 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设当 $a \leq x \leq b$ 时，$a \leq f(x) \leq b$，并设存在常数 $k$，$0 \leq k < 1$，对于 $[a,b]$ 上的任意两点 $x_{1}$ 与 $x_{2}$，都有 $|f(x_{1}) - f(x_{2})| \leq k |x_{1} - x_{2}|$. 证明：
		\begin{enumerate}
			\item 存在唯一的 $\xi \in [a,b]$ 使 $f(\xi) = \xi$;
			\item 对于任意给定的 $x_{1} \in [a,b]$，定义 $x_{n+1} = f(x_{n})$，$n = 1,2,\cdots$，则 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在，且 $\lim_{n \to \infty} x_{n} = \xi$.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		已知 $\left( 2 + \sqrt{2} \right)^{n} = A_{n} + B_{n}\sqrt{2}$，$A_{n},B_{n}$ 为整数，$n = 1,2,3,\cdots$，求 $\lim_{n\to \infty} \frac{A_{n}}{B_{n}}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，满足 $0 \leq f(x) \leq x, x \in [0,+\infty)$，设 $a_{1} \geq 0$，$a_{n+1} = f(a_{n})(n = 1,2,\cdots)$，证明：
		\begin{enumerate}
			\item $\{ a_{n} \}$ 为收敛数列;
			\item 设 $\lim_{n \to \infty} a_{n} = t$，则有 $f(t) = t$;
			\item 若条件改为 $0 \leq f(x) < x,x \in (0,+\infty)$，则 $t = 0$.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		\begin{enumerate}
			\item 设 $f(x) = x + \ln(2 - x)$，求 $f(x)$ 的最大值;
			\item 设 $x_{1} = \ln 2$，$x_{n} = \sum_{i=1}^{n-1} \ln(2 - x_{i}), n = 2,3,\cdots$，证明 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在并求其极限值.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $x_{1} = 1$，$x_{n} = \int_{0}^{1} \min\{x,x_{n-1}\} \dd{x}, n = 2,3,\cdots$，证明 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在并求其极限值.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设数列 $\{ x_{n} \}$ 满足 $0 < x_{1} < 1$，$\ln(1 + x_{n}) = \ee^{x_{n+1}} - 1(n = 1,2,\cdots)$，证明
		\begin{enumerate}
			\item 当 $0 < x < 1$ 时，$\ln(1 + x) < x < \ee^{x} - 1$;
			\item $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在，并求该极限.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		\begin{enumerate}
			\item 证明方程 $x = 2\ln(1 + x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有唯一实根 $\xi$;
			\item 任取 $x_{1} > \xi$，定义 $x_{n+1} = 2\ln(1 + x_{n}), n = 1,2,\cdots$，证明 $\lim_{n \to \infty} x_{n} = \xi$.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		\begin{enumerate}
			\item 证明方程 $\ee^{x} + x^{2n+1} = 0$ 在 $(-1,0)$ 内有唯一实根 $x_{n}, n = 0,1,2,\cdots$;
			\item 证明 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在并求其值 $a$;
			\item 求 $\lim_{n \to \infty} n(x_{n} - a)$.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $F(x,y) = \frac{f(y - x)}{2x}$，$F(1,y) = \frac{y^{2}}{2} - y + 5$，$x_{0} > 0$，$x_{1} = F(x_{0},2x_{0})$，$\cdots$，$x_{n+1} = F(x_{n},2x_{n}), n = 1,2,\cdots$. 证明 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$ 存在，并求该极限.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		已知
		\[
			f_{n}(x) = \CC_{n}^{1} \cos x - \CC_{n}^{2} \cos^{2}x + \cdots + (-1)^{n-1} \CC_{n}^{n} \cos^{n}x.
		\]
		\begin{enumerate}
			\item 证明方程 $f_{n}(x) = \frac{1}{2}$ 在区间 $\left( 0,\frac{\uppi}{2} \right)$ 中仅有一根 $x_{n}, n = 1,2,3,\cdots$;
			\item 求 $\lim_{n \to \infty} f_{n}\left( \arccos\frac{1}{n} \right)$;
			\item 设 $x_{n} \in \left( 0,\frac{\uppi}{2} \right)$ 满足 $f_{n}(x_{n}) = \frac{1}{2}$，证明 $\lim_{n \to \infty} x_{n} = \frac{\uppi}{2}$.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		\begin{enumerate}
			\item 证明：当 $x \to 0^{+}$ 时，不等式 $0 < \tan^{2}x - x^{2} < x^{4}$ 成立;
			\item 设 $x_{n} = \sum_{k=1}^{n} \tan^{2}\frac{1}{\sqrt{n+k}}$，求 $\lim_{n \to \infty}x_{n}$.
		\end{enumerate}
	\end{ti}

	\begin{ti}
		\begin{enumerate}
			\item 设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，$f'(x) > 0, x \in (0,+\infty)$，证明 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调增加;
			\item 证明 $f(x) = \left( n^{x} + 1 \right)^{-\frac{1}{x}}$ 在 $(0,+\infty)$ 内单调增加，其中 $n$ 为正整数;
			\item 设数列 $x_{n} = \sum_{k=1}^{n} \left( n^{k} + 1 \right)^{-\frac{1}{k}}$，求 $\lim_{n \to \infty} x_{n}$.
		\end{enumerate}
	\end{ti}